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整列原理

せいれつげんり／整列性／自然数の整列性 1対1で対応

well-ordering principle

名詞

式と読み方

\varnothing \neq S \subseteq \mathbb{N} \implies S \text{ has a least element}

if S is a nonempty subset of the natural numbers, then S has a least element

定義

正の整数からなる空でない集合には、必ず最小の要素があるという性質。数学的帰納法と同値で、「最小の反例」をとる背理法の証明に使う。

The principle that every nonempty set of positive integers has a smallest element. It is equivalent to induction and is used in proofs that pick a smallest counterexample.

例文

話し言葉 Suppose there's a counterexample. By the well-ordering principle, there has to be a smallest one, so let's call it n. 反例があると仮定しよう。整列原理により最小の反例があるはずだから、それを n とおく。

書き言葉・答案 Use the well-ordering principle to prove that every integer n ≥ 2 has a prime factor. 整列原理を用いて、2 以上のすべての整数 n は素因数をもつことを証明せよ。

言い間違えやすいところ

整数全体や正の実数では成り立たない。負の整数全体にも、区間 (0, 1) にも最小の要素は無い。
英語の natural numbers が 0 を含むかは本によるが、整列原理はどちらでも成り立つ。

根拠の件数

話し言葉計 1

well-ordering principle1

書き言葉計 1

well-ordering principle1

米国の講義の書き起こし・字幕（話し言葉）と教科書・講義ノート（書き言葉）で、言い方ごとに数えた回数です。語形変化はまとめ、「…」は 1〜3 語の空き。「数えていない」はその側では数えていないことを示します。

取得元と数えた日

取得元（話し言葉）: MIT OCW 6.042 Mathematics for Computer Science
取得元（書き言葉）: MIT OCW lecture notes
数えた日: 2026-09-25