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期待値の線形性
きたいちのせんけいせい 1対1で対応linearity of expectation
名詞 ・話し言葉・書き言葉
式と読み方
E of a X plus b Y equals a times E of X plus b times E of Y
定義
確率変数の和の期待値は、期待値の和に等しいという性質。E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) は X と Y が独立でなくても成り立つ。
The fact that the expected value of a sum of random variables equals the sum of their expected values. The rule E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) holds even when X and Y are not independent.
例文
話し言葉 We don't need independence here. Linearity of expectation works for any random variables. ここで独立性はいらない。期待値の線形性はどんな確率変数にも使える。
書き言葉・答案 n guests check their hats, and the hats are returned at random. Use linearity of expectation to find the expected number of guests who get their own hat back. n 人の客が帽子を預け、帽子は無作為に返される。期待値の線形性を用いて、自分の帽子が戻ってくる客の人数の期待値を求めよ。
言い間違えやすいところ
- 日本の数B では E(X + Y) = E(X) + E(Y) や E(aX + b) = aE(X) + b を公式として扱う。英語の証明では by linearity of expectation と性質の名前で理由を書く。
- 和の期待値は独立でなくても分けられるが、積の期待値 E(XY) = E(X)E(Y) は X と Y が独立のときしか成り立たない。
- 用例コーパスでは話し言葉はすべて MIT OCW、書き言葉はすべて MIT の講義ノート。