積分の性質
せきぶんのせいしつ 1対1で対応properties of the definite integral
名詞
式と読み方
the integral from a to b of f of x dx equals negative the integral from b to a of f of x dx
場面で変わる言い方
- properties of the definite integral
- 書き言葉・答案 OpenStax Calculus の書き方。話し言葉には出てこず、書き言葉はすべて OpenStax Calculus。
- properties of integrals
- 話し言葉・書き言葉 話し言葉ではこちら（すべて MIT OCW）。書き言葉では少ない（OpenStax Calculus・MIT の講義ノート）。
定義
定数倍や和を分けて積分できること、区間を分けて足せること、上端と下端を入れ替えると符号が変わること、区間で f(x) ≦ g(x) なら ∫ₐᵇ f(x)dx ≦ ∫ₐᵇ g(x)dx となること（比較の性質）など、定積分の基本的な性質。
The basic rules for definite integrals: constants and sums can be pulled apart, intervals can be split and added, swapping the limits changes the sign, and f(x) ≤ g(x) on [a, b] gives ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx (comparison).
例文
話し言葉 One property you'll use all the time: if you flip the limits, you pick up a negative sign. よく使う性質：上端と下端を入れ替えるとマイナスが付く。
書き言葉・答案 By the properties of the definite integral, ∫₀² (3x + 1) dx = 3∫₀² x dx + ∫₀² 1 dx. 積分の性質より ∫₀² (3x + 1) dx = 3∫₀² x dx + ∫₀² 1 dx。
話し言葉 Since one over x is decreasing, each rectangle sticks out above the curve, so the sum is bigger than the integral. 1/x は減少関数だから、長方形はどれも曲線より上にはみ出す。だから和は積分より大きい。
言い間違えやすいところ
- 比較の性質は、定積分を使って不等式を証明するときに使う。OpenStax Calculus Volume 1 はこの性質を comparison properties として定積分の性質に並べる。
- 等号を含まない不等式は英語で strict inequality と言う。