三角置換
さんかくちかん 近いが同じではないtrigonometric substitution
名詞 ・書き言葉・答案
学習指導要領解説（数学III）は x = a sin θ の置き換えを置換積分法に含め、別の名前を付けない。OpenStax Calculus Volume 2 は Trigonometric Substitution の節で体系的に扱い、不定積分の答えを x に戻すために直角三角形（reference triangle）を描く。
式と読み方
the integral of the square root of one minus x squared dx, with x equals sine theta
場面で変わる言い方
- trig substitution
- 話し言葉 話し言葉で最も多い（MIT OCW が中心）。書き言葉にはほとんど出てこない（MIT の講義ノートだけ）。
- trig sub
- 話し言葉 さらに略した言い方。NancyPi に多い。書き言葉には出てこない。
定義
√(a² − x²) などを含む積分で、x = a sin θ、x = a tan θ、x = a sec θ のように x を三角関数で置き換えて根号を外す方法。
A method for integrals with √(a² − x²), √(a² + x²) or √(x² − a²): replace x with a sin θ, a tan θ or a sec θ to remove the root.
例文
話し言葉 Square root of one minus x squared? That's a trig sub: let x be sine theta. √(1 − x²)？ それは三角置換。x = sin θ とおく。
書き言葉・答案 Using the trigonometric substitution x = 3 tan θ, we have dx = 3 sec² θ dθ. 三角置換 x = 3 tan θ を用いると dx = 3 sec²θ dθ となる。
話し言葉 For the square root of two x plus one, let u be two x plus one, and it turns into a power. √(2x + 1) は u = 2x + 1 とおけば、べき乗の形になる。
言い間違えやすいところ
- 1/cos²θ は OpenStax では sec²θ と書く（学習指導要領解説には sec が出てこない）。
- AP Calculus の CED（2020 年版）には trigonometric substitution の topic がない。BC の積分の技法は topic 6.11（部分積分）・6.12（部分分数）・6.13（広義積分）。
- √ を含む関数（日本の「無理関数」）は、OpenStax と AP の CED では irrational function と呼ばず、radical function ／ square root function と呼ぶ。√(ax + b) は u-substitution、√(a² − x²) などは trigonometric substitution で扱う。