置換積分法
ちかんせきぶんほう ／ 置換積分 近いが同じではないu-substitution
名詞 ・話し言葉・書き言葉 別の言い方 u-sub, substitution rule
日本の置換積分法は、g(x) = t とおく形と x = g(t) とおく形の両方を含む（学習指導要領解説の数学III は ax + b = t と x = a sin θ の置き換えを挙げる）。OpenStax Calculus の u-substitution は u = g(x) とおく形で、x = a sin θ のように x を置き換える形は trigonometric substitution として別の節（Volume 2）で扱う。OpenStax Calculus Volume 1（5.5 Substitution）は節の名前を Substitution とし、本文で the substitution rule for indefinite integrals とも書く。
式と読み方
the integral of f of g of x times g prime of x dx equals the integral of f of u du
場面で変わる言い方
- integration by substitution
- 書き言葉・答案 正式な名前。コーパスでは少ない。話し言葉は MIT OCW だけ、書き言葉はほとんどが OpenStax Calculus。
定義
式の一部を新しい変数でおき換えて積分する方法。u = g(x) とおくと ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du となる。
A method of integration that replaces part of the integrand with a new variable: with u = g(x), ∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(u) du.
例文
話し言葉 This is a classic u-substitution: let u be x squared plus one, and then du is two x dx. 典型的な置換積分。u = x² + 1 とおけば du = 2x dx。
書き言葉・答案 With the substitution u = x² + 1, du = 2x dx, the integral becomes ∫ u⁵ du. u = x² + 1 と置換すると du = 2x dx で、積分は ∫ u⁵ du になる。
話し言葉 The substitution rule is really just the chain rule run backwards. 置換法則は、要するに連鎖律を逆に使っているだけ。
言い間違えやすいところ
- OpenStax Calculus と AP の CED は新しい変数に u を使う（名前も u-substitution）。
- 口頭では u-sub と略すこともある。
- dx を du で書き直すのを忘れない（du = g′(x) dx）。