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二項係数の恒等式
にこうけいすうのこうとうしき 1対1で対応binomial identity
名詞 別の言い方 binomial coefficient identity
式と読み方
n choose k equals n minus one choose k minus one plus n minus one choose k
定義
二項係数 nCk の間に成り立つ等式のこと。nCk = nCn−k や nCk = n−1Ck−1 + n−1Ck などがあり、式の変形や数え上げの議論で示す。
An equation that holds between binomial coefficients, such as C(n, k) = C(n, n − k) or C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). It can be proved with algebra or by counting the same set in two ways.
例文
話し言葉 To prove this binomial identity, count the same committees in two different ways. この二項係数の恒等式を示すには、同じ委員会の選び方を 2 通りに数えればよい。
書き言葉・答案 Prove the binomial identity C(n, 0) + C(n, 1) + ⋯ + C(n, n) = 2ⁿ by counting the subsets of an n-element set. n 個の要素からなる集合の部分集合の個数を数えることで、等式 nC0 + nC1 + ⋯ + nCn = 2ⁿ を証明せよ。
言い間違えやすいところ
- 日本の教科書は nCk と書くが、英語の本では縦に並べた (n k) や C(n, k) と書き、n choose k と読む。
- 個々の等式には名前が付いたものがある。nCk = n−1Ck−1 + n−1Ck は Pascal's identity（パスカルの三角形の作り方にあたる）。
- binomial identity は Levin の本の 3.6 Combinatorial Proofs で 18 件。CED・OpenStax・IM・CK-12 には出てこない。
根拠の件数
用例コーパスで数えた件数はありません（数えない言い方か、どの取得元にも出てこなかった言い方です）。