答案に書く

対応する辺がそれぞれ等しいと書く

AB, BC, and CA are equal to DE, EF, and FD, respectively.

3 組の辺がそれぞれ等しい。（書き言葉）

AB = DE, BC = EF, and CA = FD.

書き言葉

数学的帰納法で、n = k のとき成り立つと仮定する

Inductive hypothesis: assume the statement is true for n = k.

n = k のとき成り立つと仮定する。（書き言葉）

Assume the statement is true for some k ≥ 1.

書き言葉

定義から直接言えることを書く

By definition,

定義より、（書き言葉）

By the definition of the derivative,

書き言葉

仮定（与えられた条件）を理由として書く

By assumption, AB = CD.

仮定より AB = CD である。（書き言葉）

By hypothesis, AB = CD.

書き言葉

Since AB = CD is given,

書き言葉

• Geometry の 2 列証明では、仮定から書いた行の理由の欄に Given と書く（CK-12 Geometry。by assumption・by hypothesis は 0 件）。by assumption・by hypothesis は文で書く証明の言い方。

自明なことを「明らかに」と書く

Clearly, f(0) = 1.

明らかに f(0) = 1 である。（書き言葉）

It is clear that f(0) = 1.

書き言葉

逆向きの主張を示すときに「逆に」と書く

Conversely, if a² + b² = c², then the triangle is a right triangle.

逆に、a² + b² = c² ならば、その三角形は直角三角形である。（書き言葉）

Now for the other direction,

書き言葉

f″(x) > 0 からグラフが下に凸（concave up）だと書く

Since f″(x) > 0, the graph of f is concave up.

f″(x) > 0 より、f のグラフは下に凸である。（書き言葉）

• 「下に凸」は concave up、「上に凸」は concave down（CED topic 5.6、OpenStax Calculus Volume 1 の 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph）。「下に凸」を convex downward と直訳しない（用例コーパスと参照に convex downward は出てこない）。

一般には成り立たないこと・一般の場合を述べる

In general, this is not true.

一般には、これは成り立たない。（書き言葉）

不等式の各辺を積分して、新しい不等式を得る

Integrating both sides of the inequality from 0 to 1, we get

不等式の両辺を 0 から 1 まで積分すると、（書き言葉）

数学的帰納法で、n = k + 1 のときも成り立つことを示す段階を書く

Inductive step: we show that the statement also holds for n = k + 1.

n = k + 1 のときも成り立つことを示す。（書き言葉）

Now we show that it is also true for n = k + 1.

書き言葉

不等式の証明で、左辺から右辺を引いた差を調べる

Subtract the right side from the left side.

左辺から右辺を引く。（書き言葉）

• 米国の教材（OpenStax・CED・IM・CK-12）に決まった言い方がない。日本の答案の型。

点の位置ベクトルを文字でおく

Let p be the position vector of P.

点 P の位置ベクトルを p とする。（書き言葉）

Let p = OP⃗.

書き言葉

答案で理由を「〜なので」と書く

Since f′(x) > 0, f is increasing.

f′(x) > 0 なので、f は増加する。（書き言葉）

Because f′(x) > 0, f is increasing.

書き言葉

実数の 2 乗は 0 以上であることを理由に使う

Since a square is never negative, (x − 1)² ≥ 0.

実数の 2 乗は 0 以上なので、(x − 1)² ≧ 0 である。（書き言葉）

Squares of real numbers are always nonnegative.

書き言葉

関数が常に正の値をとると書く

f(x) is always positive.

f(x) は常に正の値をとる。（書き言葉）

f takes only positive values.

書き言葉

底が 1 より大きいので、不等号の向きは変わらないと書く

Since the base is greater than 1, the inequality sign stays the same.

底が 1 より大きいので、不等号の向きは変わらない。（書き言葉）

Since the base is greater than 1, the direction of the inequality does not change.

書き言葉

公比の絶対値が 1 より小さいので等比級数が収束すると書く

Since |r| < 1, the series converges.

|r| < 1 なので、この級数は収束する。（書き言葉）

その点で微分係数が 0 になる（接線が水平になる）と書く

The graph of f has a horizontal tangent at x = a.

f のグラフは x = a で水平な接線をもつ。（書き言葉）

The derivative is zero at x = a.

書き言葉

等式が成り立つことを示し終えたと書く

Thus, the identity is verified.

よって、等式は成り立つ。（書き言葉）

Therefore, the equation holds.

書き言葉

左側極限と右側極限が一致するので極限が存在すると書く

Since the left-hand and right-hand limits are equal, the limit exists.

左側極限と右側極限が等しいので、極限は存在する。（書き言葉）

Since the one-sided limits are equal, the limit exists.

書き言葉

接線がある点を通ることを条件として使う

Since the tangent line passes through (0, −1),

接線が点 (0, −1) を通るので、（書き言葉）

The tangent line goes through (0, −1).

書き言葉

何を示せばよいかを書く

We need to show that f(x) > 0 for all x.

示すべきことは、すべての x について f(x) > 0 となることである。（書き言葉）

We want to show that f(x) > 0 for all x.

書き言葉

式の後に文字の条件を書き添える（ただし〜）

x = π/2 + kπ, where k is an integer.

x = π/2 + kπ（ただし k は整数）（書き言葉）

証明の最後に「以上で示された」「（証明終わり）」と書く

Hence a + b is even, as desired.

よって、a + b は偶数である。以上で示された。（書き言葉）

This completes the proof.

書き言葉

Hence a + b is even, as required.

書き言葉

Hence a + b is even, which is what we wanted to show.

書き言葉

∎

書き言葉 証明の終わりの記号（Q.E.D. とも書く。記号のエントリ qed-end-of-proof）。

記号: 証明終わりの印

• 日本語版 Wikipedia「証明 (数学)」は、証明の終わりに「Q.E.D.」「証明終わり」「[証明終]」などを書くとする。英語では最後の文で締めるか（This completes the proof. ／ …, as desired.）、∎ や □ を置く（記号のエントリ qed-end-of-proof）。
• 「証明終わり」を直訳して proof end などと書かない。
• Nicholson と Levin には This completes the proof. で締める証明がある（Nicholson 6 件・Levin 2 件）。Nicholson は …, as required. で締めることも多い（38 件）。OpenStax Calculus は …, as desired. と締めて □ を置く。
• Q.E.D. はラテン語 quod erat demonstrandum（示すべきことが示された）の略。Levin では解答の末尾に出る程度。

帰納法の証明の結びを書く

By induction, the statement holds for all n ≥ 1.

以上より、数学的帰納法によってすべての自然数 n について成り立つ。（書き言葉）

By the principle of mathematical induction, the statement holds for all n ≥ 1.

書き言葉 Levin（4.5 Proof by Induction）の締めの言い方。

答案で定理を根拠に挙げる（〜の定理より）

By the Pythagorean Theorem, AC = 5.

三平方の定理より AC = 5。（書き言葉）

Using the Pythagorean Theorem, AC = 5.

書き言葉

It follows from the Pythagorean Theorem that AC = 5.

書き言葉

答案で場合分けを書く

There are two cases: x ≥ 0 and x < 0.

x ≥ 0 のときと x < 0 のときの 2 つの場合に分ける。（書き言葉）

Case 1: x ≥ 0.

書き言葉

答案で「(1)、(2) より」と結果を合わせる

Putting this together, x = 2.

以上より（(1)、(2) より）、x = 2 である。（書き言葉）

Combining these two results, we get x = 2.

書き言葉

From (1) and (2), x = 2.

書き言葉 式番号を引く書き方。

答案で結論と理由を 1 文で書く（極値の判定）

f changes from increasing to decreasing at x = 2, so f has a relative maximum there.

f は x = 2 で増加から減少に変わるので、x = 2 で極大となる。（書き言葉）

f has a relative maximum at x = 2 because f′ changes from positive to negative there.

書き言葉

• AP Calculus の CED の採点例（試験の章 Question 2）は、理由の行を f′ の符号の変化（negative から positive）で書く。f の増減で結論を書くときも、f′ の符号から増減を言う行を前に置くと理由がはっきりする。

答案の最後に答えを書く

The solution is x = 3.

答　x = 3（書き言葉）

Answer: x = 3

書き言葉 答えの行を Answer: で始める書き方。

答案で「k は整数」と条件を添える

n = 2k + 1, where k is an integer.

n = 2k + 1（k は整数）と表せる。（書き言葉）

n = 2k + 1 for some integer k.

書き言葉

答案で「グラフより」と根拠を示す

From the graph, f(2) = 3.

グラフより、f(2) = 3 である。（書き言葉）

The graph shows that f(2) = 3.

書き言葉

幾何の証明で仮定と結論を書く

Given: AB = CD, AB ∥ CD. Prove: △ABC ≅ △CDA.

仮定：AB = CD, AB // CD　結論：△ABC ≡ △CDA（書き言葉）

• CK-12 Geometry の二段組みの証明（two-column proof）の型で、証明の問題を Given（仮定）と Prove（示すこと）で始め、statements と reasons の 2 列で書く。

定理の仮定が満たされることを書く

Since f is continuous on [1, 3] and differentiable on (1, 3), the Mean Value Theorem applies.

f は [1, 3] で連続、(1, 3) で微分可能なので、平均値の定理が使える。（書き言葉）

The hypotheses of the Mean Value Theorem are satisfied.

書き言葉

答案で「すなわち」と言い換える

The tangent line at x = 1 is horizontal; that is, f′(1) = 0.

x = 1 における接線は水平、すなわち f′(1) = 0 である。（書き言葉）

The tangent line at x = 1 is horizontal, i.e., f′(1) = 0.

書き言葉

答案で「〜を示せば十分である」と書く

It suffices to show that f′(x) > 0.

f′(x) > 0 を示せば十分である。（書き言葉）

It is enough to show that f′(x) > 0.

書き言葉

答案で文字を導入する（〜を x とする）

Let x be the number of tickets sold.

売れたチケットの枚数を x とする。（書き言葉）

Let x represent the number of tickets sold.

書き言葉

Let x denote the number of tickets sold.

書き言葉

ε-δ の証明を書き始める

Let ε > 0 be given.

任意の ε > 0 をとる。（書き言葉）

答案で「解なし」と書く

Therefore, there is no solution.

よって解なし。（書き言葉）

The equation has no real solutions.

書き言葉

答案で「〜に注意する」と書く

Notice that x² + 1 > 0 for all x.

ここで、すべての x について x² + 1 > 0 であることに注意する。（書き言葉）

Note that x² + 1 > 0 for all x.

書き言葉

答案で「一方、」と対比する

On the other hand, f(3) < 0.

一方、f(3) < 0 である。（書き言葉）

答案で「x = −2 は不適」と書く

x = −2 is an extraneous solution, so we reject it.

x = −2 は不適。（書き言葉）

x = −2 does not satisfy the original equation.

書き言葉

• 無縁解（もとの方程式を満たさない値）を除くときの言い方。長さが負になるなど問題の条件で除く値は extraneous と呼ばず、OpenStax Elementary Algebra（10.4）は eliminate the negative solution のように書く（フレーズ explaining-solution-threw-out-a-solution）。

答案で「同様にして」と書く

Similarly, BD = CE.

同様にして BD = CE である。（書き言葉）

By the same argument, BD = CE.

書き言葉

答案で仮定を置く

Suppose that f(a) = f(b).

f(a) = f(b) とする（と仮定する）。（書き言葉）

Assume that f(a) = f(b).

書き言葉

背理法の仮定を書く

Suppose, for the sake of contradiction, that √2 is rational.

√2 が有理数であると仮定する（背理法）。（書き言葉）

Assume to the contrary that √2 is rational.

書き言葉

Suppose not. Then √2 is rational.

書き言葉

答案で「n → ∞ とすると」と極限をとる

Taking the limit as n → ∞, we get L = 1/2.

n → ∞ とすると、L = 1/2 を得る。（書き言葉）

Letting n approach infinity, we get L = 1/2.

書き言葉

答案で「すると」と式をつなぐ

This gives f′(x) = 2x − 4.

すると f′(x) = 2x − 4 である。（書き言葉）

Then we have f′(x) = 2x − 4.

書き言葉

答案で「よって」「したがって」と書く

Therefore x = 3 is the only solution.

よって x = 3 が唯一の解である。（書き言葉）

Thus x = 3 is the only solution.

書き言葉

Hence x = 3 is the only solution.

書き言葉

So x = 3 is the only solution.

ふつう therefore ／ hence より口語的。

答案で「〜であるから」と成り立つ事実を示す

We have that f(2) = 5, so the point (2, 5) is on the graph of f.

f(2) = 5 であるから、点 (2, 5) は f のグラフ上にある。（書き言葉）

We get that f(2) = 5.

書き言葉

答案で「〜となり、…である」と結論を導く

2x = 6. It follows that x = 3.

2x = 6 となり、x = 3 である。（書き言葉）

2x = 6, which implies x = 3.

書き言葉

2x = 6, so x = 3.

ふつう so は口語的。答案でも使う。

2x = 6 ⟹ x = 3

書き言葉 記号だけの書き方。⟹ は implies と読む（記号のエントリ implies-arrow）。